lunes, 25 de marzo de 2013

Convolución y la estructura matemática de la física.Convolution and the mathematical structure of physics.


Convolución y la estructura matemática de la física.
 Faltung und die mathematische Struktur der Physik.

Gran parte de los sistemas físicos reales se pueden aproximar a sistemas lineales tiempo invariantes(LTI). Como circuitos lineales o sistemas mecánicos.
En este sentido , no pretendo exponer de manera científica el tema, sino mostrar la relación entre matemáticas y física, que es tan evidente con la convolución.
Básicamente, para un sistema físico de ciertas características, comunes en muchos de los sistemas reales ( invariante en el tiempo, lineal), se cumple que la convolución relaciona dos funciones matemáticas que originan una nueva función.

Qué tiene de interesante eso?
Si las funciones corresponden a la señal de entrada en el tiempo que perturba un sistema físico real, por un lado , y la que representa el sistema físico por el otro, la salida o función resultante es la respuesta en el tiempo del sistema.
Eso es decir: podemos corporizar la física por medio de los modelos matemáticos, simulando incluso las perturbaciones que le aplicamos al modelo representativo de la realidad.
Si x(t) es la señal de entrada o perturbación al sistema, y h(t) es el modelo representativo del sistema físico, y(t) es la respuesta del sistema en el tiempo o comportamiento ante la excitación.



Esa integral es similar a otra función llamada correlación cruzada, de interesantes aplicaciones estadísticas, por lo que no es extraño que se encuentren otras relaciones entre la física de un sistema real y estadísticas en este caso.

Con los sistemas informáticos actuales se resuelve fácilmente esta integral de convolución en forma numérica. Esto permite obtener una función respuesta, pero no es la función en el tiempo estricta. Para ello hay que resolver formalmente la integral.
Interesante es saber que Laplace al estudiar una serie de integrales que habían sido investigadas por Euler, encontró una manera de resolver ecuaciones diferenciales.

La llamada transformación de Laplace ( época 1782, mientras se acercaba la revolución…), es estrictamente un operador que partiendo del tiempo hace un pasaje al campo complejo.
De esta manera , las funciones que se originan en el campo temporal se pasan al campo complejo, donde las funciones x(t) y h(t) tienen su imagen como X(s) , H(s), originando una función respuesta compleja Y(s).
Interesante es observar que el producto X(s) H(s) =Y(s)  es posible en el campo complejo, lo que devuelve una función compleja Y(s). Luego se opera retornando al campo temporal ( anti-transformando) con distintas formas de tabulación, y qué encontramos?  la respuesta en el tiempo al sistema cuya perturbación era x(t) y su representación matemática h(t).
O sea, que para encontrar la realidad de la física, primero vamos al camino de la irrealidad de los números complejos que nos permiten conocer la realidad paradójicamente.

Los circuitos eléctricos y los sistemas de control.
función senoidal
Esta aplicación  tiene que ver con algunas ingenierías. El área eléctrica, electrónica, control de procesos, son las que usan esta parte de las matemáticas.
La función seno aplicada a un sistema lineal invariante en el tiempo, ocasiona otra salida senoidal, pero se origina un elemento de transferencia que en electricidad y electrónica se conoce como impedancia.
La aplicación de la descomposición en  fracciones parciales de la función representativa del sistema lineal usado, combinado con la función en el campo complejo de la función seno, originan una expresión de términos exponenciales decrecientes.

La expresión  transformada de la función sen (ωt)   es


Cuando se hacen tender a cero los elementos representativos de la parte transitoria, solo queda la parte permanente pudiendo trabajar solo con la frecuencia en vez de la variable completa  s.
Esto es lo que permite también usar el análisis frecuencial en sistemas de control, analizando el comportamiento de sistemas en régimen permanente.

Referencias
 Ingeniería de control moderna. (Katsuhiko Ogata)
http://www.mty.itesm.mx/dcic/deptos/m/Paginas/MateParaTodos/e07/archivos/convolucion.pdf

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node7.html


La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas.
·         En estadística, como un promedio móvil ponderado.
·         En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.
·         En óptica, muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris.
·         En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan.
·         En ingeniería eléctrica, electrónica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones).
·         En física, allí donde haya un sistema lineal con un "principio de superposición", aparece una operación de convolución.


 ( en edición...)




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